病态方程组检验-基于matlab

一. 病态方程组是什么

假设我们有一个线性方程组要求解, 记为

$$Ax = b\\$$

虽然理论上可能是有解的, 甚至可能是唯一解

但是在误差分析的时候, 我们给$b$一些小扰动, 会导致$x$的剧烈变化, 以至于准确解和近似解之间相差太多

而通过数值分析的学习, 我们知道现实中求解基本都是近似解, 因此病态方程组是很难获得一个误差不大的准确解的

同时还取决于方程的数量, 也就是矩阵的大小, 线性空间的维数.

二. matlab实际展示

一个典型的病态矩阵例子是$Hilbert$矩阵, 一般定义如下:

$$H_n = \begin{bmatrix} \frac 11 & \frac 12 & \dots & \frac 1n \\ \frac 12 & \frac 13 & \dots & \frac1{n+1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac 1n & \frac1{n+1} & \dots & \frac1{2n-1} \end{bmatrix}$$

实验思路:

$$令 x = [1, 1, \dots , 1]^T 为n维向量\\ 令b = H_n*x\\ 由于计算机的存储误差, 反过来计算x时只能得到x的近似解x'\\ x' = b/H_n\\ 比较x和x'的误差$$

% 以下是一个简单的分析程序
% n 表示 Hilbert矩阵大小
n = 3;
% 获得一个n*n的Hilbert矩阵
H = hilb(n);
% x为精确解
x = transpose(linspace(1,1,n));
% 计算b
b = H*x;
% v为x的近似解
v = H\b;
% 评估指标, 观察变化倍率, 对于x的每一维x_i=1来说, v_i相对x_i放大了v_i倍, 我们求出最大的放大倍数
maxd = max(abs(v))

实验结果:

n =

     3


ans =

    1.0000


n =

     5


ans =

    1.0000


n =

     7


ans =

    1.0000


n =

    10


ans =

    1.0003


n =

    15
    
ans =

    7.5244


n =

    20
 

ans =

   27.3759


n =

    25
 

ans =

   36.0329

基本上在$n>10$之后开始变得极其不准, 误差超过$2$倍, 但是和老师上课讲的还是有点区别, 似乎没有在$n>5$时就开始病态

结果可能依赖于输入的准确解$x$